Faktöriyel Çözümlü Sorular

Faktöriyel Video

10. sınıf faktöriyel (permütasyon) konusu, olasılık ve istatistik dersleri kapsamında işlenen bir konudur. Faktöriyel, nesnelerin sıralanma biçimlerini ifade etmek için kullanılır. Özellikle sıralı olaylar ve düzenlemeler hakkında bilgi verir. İşte faktöriyel konusu hakkında temel bilgiler:

Faktöriyel İşlemi: n faktöriyel (n!) olarak gösterilir ve n pozitif tam sayısı için aşağıdaki şekilde hesaplanır:
n! = n × (n - 1) × (n - 2) × ... × 3 × 2 × 1
Örnek: 5 faktöriyel (5!) = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120

Bu hesaplama, n nesnenin sıralanma biçimlerinin sayısını temsil eder. Yani n farklı nesnenin kaç farklı sıralanma biçimi olduğunu ifade eder. Permütasyon (Sıralı Düzenlemeler): Permütasyon, nesnelerin sıralı düzenlemelerini ifade eden bir kavramdır. Bir nesne grubundaki n farklı nesnenin, r farklı nesnenin sıralanma biçimlerinin sayısını hesaplamak için kullanılır ve genellikle P(n, r) ile gösterilir. Permütasyon, faktöriyel işlemi kullanarak hesaplanır:
P(n, r) = n! / (n - r)!
Burada n, toplam nesne sayısını, r ise sıralanacak nesne sayısını temsil eder.
Örnek: 5 farklı kitap arasından 3 kitabın sıralanma biçimlerinin sayısını hesaplayalım.
P(5, 3) = 5! / (5 - 3)! P(5, 3) = 5! / 2! P(5, 3) = (5 × 4 × 3 × 2 × 1) / (2 × 1) P(5, 3) = (5 × 4 × 3) = 60
Sonuç olarak, 5 farklı kitap arasından 3 kitabın sıralanma biçimlerinin sayısı 60'dır.

Bu temel bilgiler, faktöriyel ve permütasyon konusunun temelini oluşturur. Bu konu, daha karmaşık olasılık ve istatistik problemlerini çözerken önemli bir araçtır.

10. Sınıf Faktöriyel Soru Çözümlü Sorular

Soru: 5! sayısının değeri kaçtır?
A) 5 B) 120 C) 125 D) 130
Çözüm: 5! = 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 120
Cevap: B

Soru: 10! sayısının değeri kaçtır?
A) 362880 B) 362881 C) 362882 D) 362883
Çözüm: 10! = 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 362880
Cevap: A

Soru: Bir sınıfta 15 öğrenci vardır. Bu öğrencilerden 5 kişilik bir grup oluşturmak için kaç farklı grup oluşturulabilir?
A) 3024 B) 3025 C) 3026 D) 3027
Çözüm: 5 kişilik bir grup oluşturmak için 15 farklı seçenek vardır. Her bir seçenek için 4 tane seçenek daha vardır. Bu nedenle toplamda 15 * 4 = 60 farklı seçenek vardır.
Ancak, bu seçenekler arasında birbirinin aynısı olan gruplar vardır. Örneğin, A, B, C, D ve E seçeneklerinden oluşan bir grup ile D, E, A, B ve C seçeneklerinden oluşan bir grup aynı gruptur. Bu nedenle, aynı grupları saymamalıyız.
15 * 4 / 5 = 120 farklı grup oluşturulabilir. Cevap: A

Soru: Bir kitaplıkta 10 farklı roman vardır. Bu romanlardan 3 tanesini seçmek için kaç farklı seçim yapılabilir?
A) 120 B) 121 C) 122 D) 123
Çözüm: 3 roman seçmek için 10 farklı seçenek vardır. Her bir seçenek için 9 tane seçenek daha vardır. Bu nedenle toplamda 10 * 9 = 90 farklı seçenek vardır.
Ancak, bu seçenekler arasında birbirinin aynısı olan seçimler vardır. Örneğin, romanları A, B ve C olarak seçmek ile C, B ve A olarak seçmek aynı seçimdir. Bu nedenle, aynı seçimleri saymamalıyız.
10 * 9 / 3! = 120 farklı seçim yapılabilir. Cevap: A

Soru: 12 farklı renkten oluşan bir kutudan 5 tane renk seçmek için kaç farklı seçim yapılabilir?
A) 792 B) 793 C) 794 D) 795
Çözüm: 5 renk seçmek için 12 farklı seçenek vardır. Her bir seçenek için 11 tane seçenek daha vardır. Bu nedenle toplamda 12 * 11 * 10 * 9 * 8 = 47900 farklı seçenek vardır.
Ancak, bu seçenekler arasında birbirinin aynısı olan seçimler vardır. Örneğin, renkleri A, B, C, D ve E olarak seçmek ile E, D, C, B ve A olarak seçmek aynı seçimdir. Bu nedenle, aynı seçimleri saymamalıyız.
12 * 11 * 10 * 9 * 8 / 5! = 792 farklı seçim yapılabilir. Cevap: A

Soru: Bir sınıfta 20 öğrenci vardır. Bu öğrencilerden 10 kişilik bir sıra oluşturmak için kaç farklı sıra oluşturulabilir?
A) 3265920 B) 3265921 C) 3265922 D) 3265923
Çözüm: 10 kişilik bir sıra oluşturmak için 20 farklı seçenek vardır. Her bir seçenek için 19 tane seçenek daha vardır. Bu nedenle toplamda 20 * 19 * 18 * 17 * 16 * 15 * 14 * 13 * 12 = 3265920 farklı