Mutlak değer, bir sayının sayı doğrusundaki sıfıra olan uzaklığını ifade eder ve her zaman pozitif veya sıfırdır. Aralıkların mutlak değer gösterimi, belirli bir sayı aralığının sıfırdan ne kadar uzakta olduğunu bulmak için kullanılır. Bu ders notunda, aralıkların mutlak değer gösteriminin nasıl yapıldığını ve mutlak değerle ilgili işlemleri inceleyeceğiz.

1. Mutlak Değerin Tanımı

Mutlak değer, bir sayının sıfırdan olan uzaklığıdır ve

$|a|$

∣a∣ sembolü ile gösterilir.

Tanım:

• Eğer
  $a \geq 0$ 

  ise, $|a| = a$ 

  
  

• Eğer
  $a < 0$ 

  ise, $|a| = -a$ 

  
  

Örnekler:

• 
  $|3| = 3$ 

  çünkü 3 pozitif bir sayıdır.

• 
  $|-5| = 5$ 

  çünkü -5 negatif bir sayıdır ve uzaklığı 5 birimdir.

• 
  $|0| = 0$ 

  çünkü sıfırın uzaklığı sıfırdır.

2. Aralıkların Mutlak Değerle Gösterimi

Mutlak değer, aralıklarla birlikte kullanıldığında, aralıktaki tüm sayıların sıfırdan olan uzaklığını ifade eder. Mutlak değer aralıkları, genellikle iki durumda incelenir:

Durum 1:

$|x – a| \leq b$

ifadesi,

$x$

x sayısının $a$ noktasından en fazla

$b$

b birim uzakta olduğunu gösterir.

Çözüm:

$-b \leq x – a \leq b$

Bu eşitsizlik, iki eşitsizliğe ayrılabilir:

$a – b \leq x \leq a + b$

Bu,

$x$

x için

$[a – b, a + b]$

aralığını verir.

Örnek 1:

$|x – 2| \leq 3$

ifadesi

$x$

x sayısının 2’den en fazla 3 birim uzakta olduğunu ifade eder. Çözümü:

$-3 \leq x – 2 \leq 3$

$2 – 3 \leq x \leq 2 + 3$

$-1 \leq x \leq 5$

Yani, $x$ aralığı

$[-1, 5]$

olarak ifade edilir.

Durum 2:

$|x – a| \geq b$

ifadesi,

$x$

x sayısının

$a$

a noktasından en az

$b$

b birim uzakta olduğunu gösterir.

Çözüm: Bu durumda, iki farklı eşitsizlik oluşur:

$x – a \geq b \quad \text{veya} \quad x – a \leq -b$

Bu,

$x$

x için iki ayrı aralık verir:

$x \geq a + b \quad \text{veya} \quad x \leq a – b$

Örnek 2:

$|x – 1| \geq 4$

ifadesi

$x$

x sayısının 1’den en az 4 birim uzakta olduğunu ifade eder. Çözümü:

$x – 1 \geq 4 \quad \text{veya} \quad x – 1 \leq -4$

$x \geq 5 \quad \text{veya} \quad x \leq -3$

Yani,

$x$

x aralığı

$(-\infty, -3] \cup [5, \infty)$

olarak ifade edilir.

3. Alıştırmalar

Aşağıdaki alıştırmalarla mutlak değerle ilgili aralık gösterimleri konusunda pratik yapabilirsiniz:

1. 
   $|x – 4| \leq 2$ 

   aralığını bulun.

2. 
   $|x + 3| \geq 5$ 

   aralığını bulun.

3. 
   $|2x – 1| \leq 7$ 

   aralığını bulun.

4. 
   $|3x + 2| \geq 4$ 

   aralığını bulun.

5. 
   $|x – 5| \leq 6$ 

   ifadesinin sayı doğrusundaki gösterimini yapın.