Gerçek sayılar üzerinde çalışırken, belirli bir aralıktaki sayıları ifade etmek için aralık gösterimleri kullanılır. Bu aralıkları ifade ederken küme sembolleri ve işlemleri önemli bir rol oynar. Bu ders notunda, gerçek sayı aralıklarının nasıl gösterildiğini ve bu aralıklarla ilgili işlemlerin nasıl yapıldığını inceleyeceğiz.

1. Gerçek Sayı Aralıklarının Gösterimi

Gerçek sayılar üzerinde belirli bir aralık, genellikle köşeli veya yuvarlak parantezlerle ifade edilir. İki temel aralık türü vardır: kapalı aralık ve açık aralık.

• Kapalı Aralık [a, b]: Aralık, a ve b dahil olmak üzere, a ile b arasındaki tüm sayıları kapsar.
  $[a, b] = \{ x \in \mathbb{R} \,|\, a \leq x \leq b \}$ 

  
  

• Açık Aralık (a, b): Aralık, a ve b hariç, a ile b arasındaki tüm sayıları kapsar.
  $(a, b) = \{ x \in \mathbb{R} \,|\, a < x < b \}$ 

  
  

• Yarı Kapalı/Yarı Açık Aralık [a, b) veya (a, b]: Bir uç noktanın dahil olup olmadığına göre, bir tarafı açık diğer tarafı kapalı olabilir.
  $[a, b) = \{ x \in \mathbb{R} \,|\, a \leq x < b \}$ 

  $$ 

  $$ 

  $(a, b] = \{ x \in \mathbb{R} \,|\, a < x \leq b \}$ 

2. Küme Sembolleri ve Gösterimleri

Kümeler, belirli bir kurala göre tanımlanan elemanlar topluluğudur. Gerçek sayı aralıklarını ifade ederken kullanılan bazı temel küme sembolleri şunlardır:

• Boş Küme (∅): Hiçbir elemanı olmayan küme.
• Kapsama (
  $\subseteq$ 

  $\subseteq$): Bir kümenin diğer bir kümenin alt kümesi olduğunu ifade eder.

• Birleşim ($\cup$): İki kümenin birleşimi, her iki kümede de bulunan tüm elemanları kapsar.
  $A \cup B = \{ x \,|\, x \in A \text{ veya } x \in B \}$ 

  
  

• Kesişim ($\cap$): İki kümenin kesişimi, her iki kümede de ortak olan elemanları kapsar.
  $A \cap B = \{ x \,|\, x \in A \text{ ve } x \in B \}$ 

  
  

• Fark ($\setminus$): Bir kümeden diğer kümenin elemanlarının çıkarılmasıyla oluşan küme.
  $A \setminus B = \{ x \,|\, x \in A \text{ ve } x \notin B \}$ 

  
  

3. Aralıklarla İlgili Küme İşlemleri

Aralıklarla ilgili işlemler yapılırken küme sembolleri ve işlemleri kullanılır. Bu işlemler arasında birleşim, kesişim ve fark işlemleri bulunur.

Birleşim İşlemi: Birleşim, iki aralığın birleşimini ifade eder. Bu, her iki aralıkta bulunan tüm sayıları kapsar.

Örnek:

$[1, 5] \cup [3, 7] = [1, 7]$

Kesişim İşlemi: Kesişim, iki aralığın ortak elemanlarını ifade eder. Bu, her iki aralıkta da bulunan sayıları kapsar.

Örnek:

$[1, 5] \cap [3, 7] = [3, 5]$

Fark İşlemi: Fark, bir aralıktan diğer aralığın elemanlarının çıkarılmasıyla oluşan aralığı ifade eder.

Örnek:

$[1, 5] \setminus [3, 7] = [1, 3)$

4. Aralıkların Grafikte Gösterimi

Aralıklar sayı doğrusunda grafiksel olarak da gösterilebilir. Kapalı aralıklar dolu dairelerle, açık aralıklar ise boş dairelerle gösterilir.

Örnek:

• [2, 6] aralığı sayı doğrusunda 2’den 6’ya kadar olan tüm sayıları kapsar ve 2 ile 6 dolu dairelerle gösterilir.
• (2, 6) aralığı ise 2 ile 6 arasındaki tüm sayıları kapsar, ancak 2 ve 6 sayıları dahil değildir, bu nedenle boş dairelerle gösterilir.

5. Alıştırmalar

Aşağıdaki alıştırmalarla gerçek sayı aralıkları ve küme işlemleriyle ilgili yeteneklerinizi geliştirin:

1. [2, 6] ∪ [4, 8] işlemini bulun.
2. (1, 5) ∩ [3, 7] işlemini bulun.
3. [1, 4) ∪ (3, 6] işlemini bulun.
4. [0, 5] \ [2, 3] işlemini bulun.
5. (−∞, 3) ∩ [1, 4] işlemini bulun.