Köklü sayılar, bir sayının belirli bir sayıya bölünmesiyle elde edilen sonuçlardır. Genellikle karekök (

$\sqrt{}$

​) ve küpkök (

$\sqrt[3]{}$

3​) işlemleriyle karşımıza çıkar. Bu ders notunda, gerçek sayıların köklü gösterimi ve köklü sayılarla yapılan işlemler hakkında temel bilgileri inceleyeceğiz.

Köklü Sayıların Tanımı

Köklü sayı, bir sayının n’inci dereceden köküdür. En yaygın kullanılan köklü gösterim karekök olup, genellikle bir sayının karesini bulmak için ters işlem olarak kullanılır.

Karekök:

$\sqrt{a} = b \quad \text{(eğer b}^2 = a \text{ise)}$

Küpkök:

$\sqrt[3]{a} = c \quad \text{(eğer c}^3 = a \text{ise)}$

n’inci Dereceden Kök:

$\sqrt[n]{a} = d \quad \text{(eğer d}^n = a \text{ise)}$

Karekök İşlemi

Karekök, bir sayının karesini bulma işlemine ters olarak uygulanır. Örneğin,

$\sqrt{16}$

​ işlemi 16’nın hangi sayının karesi olduğunu sorar, bu durumda cevap 4’tür çünkü

$4^2 = 16$

Örnekler:

• 
  $\sqrt{25} = 5$ 

  çünkü $5^2 = 25$ 

  
  

• 
  $\sqrt{9} = 3$ 

  çünkü $3^2 = 9$ 

  
  

• 
  $\sqrt{100} = 10$ 

  çünkü $10^2 = 100$ 

  
  

Küpkök İşlemi

Küpkök, bir sayının küpünü bulma işlemine ters olarak uygulanır. Örneğin,

$\sqrt[3]{27}$

işlemi 27’nin hangi sayının küpü olduğunu sorar, bu durumda cevap 3’tür çünkü

$3^3 = 27$

Örnekler:

• 
  $\sqrt[3]{8} = 2$ 

  çünkü $2^3 = 8$ 

  
  

• 
  $\sqrt[3]{64} = 4$ 

  çünkü $4^3 = 64$ 

  
  

• 
  $\sqrt[3]{125} = 5$ 

  çünkü $5^3 = 125$ 

  
  

n’inci Dereceden Kök İşlemi

Köklü sayılar yalnızca karekök ve küpkök ile sınırlı değildir. Daha yüksek dereceli kökler de hesaplanabilir.

$\sqrt[4]{16}$

, 16’nın dördüncü köküdür ve 2’ye eşittir çünkü

$2^4 = 16$

Örnekler:

• 
  $\sqrt[4]{16} = 2$ 

  çünkü $2^4 = 16$ 

  
  

• 
  $\sqrt[5]{32} = 2$ 

  çünkü $2^5 = 32$ 

  
  

• 
  $\sqrt[6]{64} = 2$ 

  çünkü $2^6 = 64$ 

  
  

Köklü Sayılarla Yapılan İşlemler

1. Çarpma ve Bölme:
   • Köklü sayılar çarpılırken veya bölünürken kökler içindeki sayılar çarpılır veya bölünür.

    

   $$\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{a \times b}$$​

   $$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$$​​Örnekler:

   • 
     $\sqrt{2} \times \sqrt{8} = \sqrt{16} = 4$ 

     
     

   • 
     $\frac{\sqrt{18}}{\sqrt{2}} = \sqrt{9} = 3$ 

     
     

2. Toplama ve Çıkarma:
   • Aynı dereceden kökler arasında toplama ve çıkarma işlemi yapılabilir.

    

   $$a\sqrt{n} + b\sqrt{n} = (a + b)\sqrt{n}$$​

   $$a\sqrt{n} – b\sqrt{n} = (a – b)\sqrt{n}$$​Örnekler:

   • 
     $3\sqrt{2} + 4\sqrt{2} = 7\sqrt{2}$ 

     ​

   • 
     $5\sqrt{3} – 2\sqrt{3} = 3\sqrt{3}$ 

     ​

Alıştırmalar

Aşağıdaki alıştırmalarla köklü sayılarla ilgili yeteneklerinizi geliştirin:

1. 
   $\sqrt{36}$ 

   ​ kaçtır?

2. 
   $\sqrt[3]{27}$ 

   kaçtır?

3. 
   $\sqrt{50} \times \sqrt{2}$ 

   ​ işleminin sonucu nedir?

4. 
   $2\sqrt{3} + 3\sqrt{3}$ 

   ​ işleminin sonucu nedir?

5. 
   $\frac{\sqrt{32}}{\sqrt{2}}$ 

   ​​ işleminin sonucu nedir?