Gerçek sayıların köklü gösterimleri ile yapılan işlemler, özellikle karekök ve küpkök gibi köklü ifadelerle çalışırken sıkça kullanılır. Bu ders notunda, köklü sayılarla toplama, çıkarma, çarpma ve bölme işlemlerinin nasıl yapıldığını detaylı olarak inceleyeceğiz.

1. Köklü Sayılarla Toplama ve Çıkarma

Köklü sayılarla toplama ve çıkarma işlemleri, sadece aynı dereceden ve aynı kök içeriğine sahip ifadeler arasında yapılabilir. Aynı kök içeriğine sahip olmayan köklü ifadeler doğrudan toplanamaz veya çıkarılamaz.

Kural:

$a\sqrt{n} + b\sqrt{n} = (a + b)\sqrt{n}$

$a\sqrt{n} – b\sqrt{n} = (a – b)\sqrt{n}$

​

Örnekler:

• 
  $3\sqrt{2} + 4\sqrt{2} = (3 + 4)\sqrt{2} = 7\sqrt{2}$ 

  ​

• 
  $5\sqrt{3} – 2\sqrt{3} = (5 – 2)\sqrt{3} = 3\sqrt{3}$ 

  ​

Eğer kök içeriği aynı değilse, toplama veya çıkarma işlemi yapılamaz. Örneğin,

$\sqrt{2} + \sqrt{3}$

​ doğrudan toplanamaz.

2. Köklü Sayılarla Çarpma

Köklü sayılar çarpılırken, kök içindeki sayılar çarpılır ve sonuç kök içine yazılır. Tabanların aynı olmasına gerek yoktur.

Kural:

$\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{a \times b}$

​

Örnekler:

• 
  $\sqrt{2} \times \sqrt{8} = \sqrt{16} = 4$ 

  
  

• 
  $\sqrt{3} \times \sqrt{12} = \sqrt{36} = 6$ 

  
  

3. Köklü Sayılarla Bölme

Köklü sayılar bölünürken, kök içindeki sayılar bölünür ve sonuç kök içine yazılır.

Kural:

$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$

​​

Örnekler:

• 
  $\frac{\sqrt{18}}{\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{18}{2}} = \sqrt{9} = 3$ 

  
  

• 
  $\frac{\sqrt{50}}{\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{50}{2}} = \sqrt{25} = 5$ 

  
  

4. Birlikte Yapılan İşlemler

Köklü sayılarla yapılan işlemler genellikle birden fazla işlem adımını içerir. Bu nedenle, toplama, çıkarma, çarpma ve bölme işlemlerini doğru sırayla yapmak önemlidir.

Örnek 1:

$3\sqrt{2} + 4\sqrt{8} \times \sqrt{2}$

​

• Önce çarpma işlemi yapılır:
  $4\sqrt{8} \times \sqrt{2} = 4\sqrt{16} = 4 \times 4 = 16$ 

  
  

• Sonra toplama işlemi yapılır:
  $3\sqrt{2} + 16$ 

  
  

Örnek 2:

$\frac{6\sqrt{50}}{2\sqrt{2}}$

​​

• Önce bölme işlemi yapılır:
  $\frac{6\sqrt{50}}{2\sqrt{2}} = 3\sqrt{\frac{50}{2}} = 3\sqrt{25} = 3 \times 5 = 15$ 

  
  

5. Alıştırmalar

Aşağıdaki alıştırmalarla köklü sayılarla ilgili yeteneklerinizi geliştirin:

1. 
   $2\sqrt{3} + 4\sqrt{3}$ 

   ​

2. 
   $5\sqrt{2} – 3\sqrt{2}$ 

   ​

3. 
   $\sqrt{7} \times \sqrt{14}$ 

   ​

4. 
   $\frac{\sqrt{45}}{\sqrt{5}}$ 

   ​​

5. 
   $2\sqrt{6} \times 3\sqrt{2}$