Gerçek sayılar, hem pozitif hem de negatif tam sayılar, rasyonel sayılar, irrasyonel sayılar gibi geniş bir sayılar kümesini kapsar. Üslü gösterim, özellikle çok büyük veya çok küçük sayılarla çalışırken kullanışlıdır. Bilimsel, mühendislik, ekonomi, ve bilgisayar bilimleri gibi alanlarda bu gösterim yaygın olarak kullanılır. Bu ders notunda, üslü gösterimlerin nasıl kullanıldığını ve bu gösterimlerle yapılan işlemleri inceleyeceğiz.

1. Gerçek Yaşamdan Üslü Gösterim Örnekleri

• Işık hızı: Işık hızı saatte yaklaşık
  $1.080.000.000$ 

  $\mathrm{1.080.000.000}$ km olarak bilinir. Bu sayı, üslü gösterimle $1,08 \times 10^9$ 

  1,08×109 km olarak ifade edilebilir.

• İnsan vücudundaki atom sayısı: Yaklaşık
  $10^{29}$ 

  1029 adet atom bulunur.

• Arşimet’in kum tanesi sayısı: Arşimet, tüm evreni doldurmak için gereken kum tanesi sayısını
  $8 \times 10^{62}$ 

  8×1062 olarak hesaplamıştır.

• Evrendeki yıldız sayısı: Yaklaşık
  $10^{23}$ 

  1023 yıldız bulunduğu düşünülmektedir.

• Hidrojen atomunun çapı: Bir hidrojen atomunun çekirdeğinin çapı
  $1,75 \times 10^{-15}$ 

  1,75×10−15 metre olarak ölçülmüştür.

Bu örneklerdeki sayılar, üslü gösterim kullanılarak daha kolay okunabilir ve işlenebilir hale getirilmiştir.

2. Gerçek Sayıların Üslü Gösterimi ve İşlemleri

Üslü gösterim, bir sayının bir taban (a) ve bir üsten (n) oluştuğu,

$a^n$

an formunda yazılır. Bu gösterimde:

• Taban (a): Üs alınacak sayı.
• Üs (n): Tabanın kaç kez çarpılacağını gösterir.

Pozitif Tam Sayılarla Üslü Gösterim

$a^n = a \times a \times … \times a \quad \text{(n kez)}$

Örnek:

• 
  $2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8$ 

  
  

• 
  $5^2 = 5 \times 5 = 25$ 

  
  

Negatif Tam Sayılarla Üslü Gösterim

$a^{-n} = \frac{1}{a^n}$

​

Örnek:

• 
  $2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}$ 

  ​

• 
  $5^{-2} = \frac{1}{5^2} = \frac{1}{25}$ 

  ​

Sıfırın Üssü

Herhangi bir sıfırdan farklı sayının sıfırıncı kuvveti 1’e eşittir:

$a^0 = 1 \quad (a \neq 0)$

Üslü Gösterimlerle Yapılan İşlemler

Üslü sayılarla yapılan işlemler, çarpma, bölme, toplama ve çıkarma gibi temel işlemleri içerir.

• Çarpma: Aynı tabana sahip üslü sayılar çarpılırken üsler toplanır.
  $a^m \times a^n = a^{m+n}$ 

  
  

• Bölme: Aynı tabana sahip üslü sayılar bölünürken üsler çıkarılır.
  $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ 

  
  

• Toplama ve Çıkarma: Üslü sayılar toplama ve çıkarma işlemleri için, aynı üs ve tabana sahip olmaları gerekir.
  $a^n + b^n \quad \text{toplanamaz, eğer} \quad a \neq b$ 

  
  

3. Örnek Sorular ve Çözümler

Tabloyu doldurarak aşağıdaki üslü gösterimlerin sonuçlarını bulun.

4. Üslü Gösterimlerin Sözlü İfadesi

Üslü gösterim, çok büyük veya çok küçük sayıları ifade etmek için kullanılır. Bu gösterim, sayının kaç basamaklı olduğunu ve bu sayının pozitif mi, negatif mi olduğunu belirlemek için kullanışlıdır.

Örneğin,

$2^4$

, “iki üzeri dört” veya “iki üssü dört” olarak okunur ve 16’ya eşittir. Aynı şekilde,

$10^{-3}$

, “on üzeri eksi üç” olarak okunur ve 0,001’e eşittir.