Üçgenler, matematikte temel bir geometrik şekildir ve açılar ile kenarlar arasında belirli ilişkiler vardır. Bu ilişkiler, üçgenin şekli ve özellikleri hakkında bilgi verir. Bu ders notunda, üçgende açı ve kenar ilişkilerini inceleyeceğiz.

1. Üçgende Açı ve Kenar İlişkisi

Bir üçgende, herhangi bir açının karşısındaki kenar, o açının büyüklüğü ile doğru orantılıdır. Başka bir deyişle, büyük açıların karşısında büyük kenarlar, küçük açıların karşısında ise küçük kenarlar bulunur.

Kural:

• Bir üçgende, büyük açıların karşısındaki kenarlar daha uzundur.
• Küçük açıların karşısındaki kenarlar daha kısadır.

Örnek:
Bir üçgende, Alfa, Beta ve Gama açıları ile a, b ve c kenarlarını ele alalım. Eğer Alfa açısı Beta ve Gama açıları arasında en büyük açıysa, Alfa’nın karşısındaki kenar (a) en uzun kenar olur.

2. Üçgen Eşitsizliği

Bir üçgende, herhangi iki kenarın uzunluklarının toplamı, üçüncü kenarın uzunluğundan büyük olmalıdır. Bu kural, üçgenin oluşabilmesi için gerekli bir şarttır.

Kural:
Bir üçgende, her zaman şu eşitsizlikler sağlanır:

• a + b > c
• b + c > a
• c + a > b

Örnek:
Eğer bir üçgende kenar uzunlukları 3 cm, 4 cm ve 5 cm ise, bu üçgenin oluşması için üçgen eşitsizliği kontrol edilebilir:

• 3 + 4 > 5 (7 > 5, doğru)
• 4 + 5 > 3 (9 > 3, doğru)
• 5 + 3 > 4 (8 > 4, doğru)

Bu eşitsizlikler doğru olduğu için, bu kenar uzunluklarına sahip bir üçgen oluşabilir.

3. Açıortay Teoremi

Bir üçgende, bir açının açıortayı, karşı kenarı iki parçaya böler. Bu parçalar, açının kenarlarına oranlıdır. Yani, açıortay, karşı kenarı açının kenarları ile orantılı iki parçaya böler.

Kural:
Eğer bir üçgende Alfa açısının açıortayı, karşı kenarı iki parçaya ayırıyorsa, bu parçalar oranlıdır:

• (a1 / a2) = (b / c)

Burada a1 ve a2, karşı kenarın açıortay tarafından bölünen parçaları; b ve c ise açının kenarlarıdır.

Örnek:
Eğer bir üçgende b = 6 cm, c = 8 cm ve a1 = 4 cm ise, a2 uzunluğunu bulmak için:

• (a1 / a2) = (b / c)
• (4 / a2) = (6 / 8)
• 4 / a2 = 3 / 4
• 4 × 4 = 3 × a2
• 16 = 3a2
• a2 = 16 / 3 = 5,33 cm

4. Üçgende Kenar Uzunlukları ve Açı Büyüklükleri

Bir üçgende, kenar uzunlukları arasındaki ilişki, açı büyüklüklerini belirler. Eğer bir üçgende iki kenar eşit uzunluktaysa, bu kenarların karşısındaki açılar da eşittir.

Kural:

• Eşit kenarların karşısındaki açılar eşittir.
• Eşit açılara sahip olan kenarlar da eşit uzunluktadır.

Örnek:
Eğer bir üçgende, iki kenar uzunluğu 5 cm ise ve bu kenarlar arasındaki açı 60° ise, diğer iki açı da 60° olacak ve üçgen eşkenar bir üçgen olacaktır.

5. Alıştırmalar

1. Bir üçgende, iki açı 50° ve 60° ise, üçüncü açıyı bulun ve bu açıya karşılık gelen kenarın diğerlerinden uzun olup olmadığını kontrol edin.
2. Kenar uzunlukları 7 cm, 10 cm ve 5 cm olan bir üçgende, bu üçgenin oluşup oluşmadığını kontrol edin.
3. Bir üçgende, iki kenar uzunluğu 8 cm ve 6 cm ise ve açıortay bu kenarların karşısındaki kenarı 4 cm ve 3 cm olarak ikiye bölüyorsa, diğer kenarların uzunluklarını bulun.
4. Eşkenar bir üçgende her bir iç açının ölçüsünü hesaplayın.
5. İkizkenar bir üçgende, taban açıları 40° ise, üçüncü açıyı bulun ve kenar uzunluklarını yorumlayın.